Поединок пространств состояний: плоская сетка двоек против куба, целиком построенного из троек.
Написано и отредактировано на английском языке. Эта русская версия создана машинным переводом; там, где важна точность, авторитетным остаётся английский оригинал. Читать оригинал на английском →
Обе игры — головоломки со сдвигом чисел. В 2048 вы сдвигаете сетку 4×4 из шестнадцати клеток в одном из четырёх направлений; равные плитки сталкиваются и удваиваются, поднимаясь по степеням двойки. В 3927 вы сдвигаете куб 3×3×3 из двадцати семи клеток в одном из шести направлений; три равных блока сталкиваются и утраиваются, поднимаясь по степеням тройки — 3, 9, 27, — теми самыми цифрами, из которых состоит название. 1 Спросить, какая из игр сложнее, — по сути, спросить, в какой из них скрыт больший океан возможных позиций. Так попробуем же измерить эту воду.
Сырой размер доски растёт как (число символов на клетку)cells, где cells — число клеток. Количество клеток стоит в показателе степени, и именно там сосредоточен весь рычаг. В 2048 шестнадцать клеток, в 3927 — двадцать семь. Если зафиксировать «алфавит» одной клетки, куб уже больше примерно в a27−16 = a11 раз; при алфавите из десяти символов одно это даёт в сто миллиардов раз больше состояний — ещё до того, как мы учтём что-либо другое. Настоящий двигатель — лишнее измерение, а не троичная арифметика.
Каждая клетка либо пуста, либо содержит одно значение плитки. Для 2048, ограниченной плиткой 256, клетка говорит на одном из девяти символов: пусто плюс {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Опубликованная верхняя оценка, построенная ровно на этом алфавите, даёт для доски 4×4 около 5,63 × 1014 позиций, и авторы честно признают, что этот потолок включает недопустимые доски, которые на деле никогда не возникают. 2 Дайте 3927 сопоставимую глубину — пусто плюс {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, восемь символов, — и её сырой потолок составит 827 ≈ 2,4 × 1024. Основание 3 даёт 3927 меньше символов на клетку, чем дало бы основание 2; одиннадцать лишних клеток возвращают ей небо.
Опустите лестницы значений чуть глубже — и потолок 3927 обгонит потолок 2048 где-то в миллиард — сто миллиардов раз. Куб побеждает за счёт показателя степени.
Никто не перечислил достижимые состояния полноразмерной 2048, не говоря уже о 3927. Но исследователи всё же исчерпывающе решили уменьшенные доски 2048, и эти точные цифры служат опорой для наших оценок. Доска 2048 размером 3×3 содержит 48 713 519 достижимых состояний; растяните её до 4×3 — и число перескочит за триллион: 1 152 817 492 752 состояния, из них 739 648 886 170 различных позиций после хода. 3 Каждая добавленная клетка умножает мир. Продолжите эту кривую до 27 клеток — и ни одна честная таблица не сможет напечатать одно-единственное число.
| Свойство | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Поле | плоская 4×4 | куб 3×3×3 |
| Клетки | 16 | 27 |
| Основание системы счисления | 2 | 3 |
| Правило слияния | 2 одинаковые → удвоение | 3 одинаковые → утроение |
| Направления сдвига | 4 | 6 |
| Символов на клетку (при равной глубине) | 9 | 8 |
| Сырой потолок (вкл. недопустимые) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Опубликованная уточнённая верхняя граница | 5.63 × 10¹⁴ | не опубликована |
| Точное число, поддоска 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
Каждое большое число здесь — верхняя граница или оценка порядка величины, но никогда не перепись. Потолки учитывают доски, которых честная игра никогда не достигнет, — скажем, доску с единственной одинокой плиткой (обе игры начинаются с двух плиток, и после каждого хода добавляют новую, так что ни на одной доске никогда не остаётся всего одна плитка) — или значения, которые не может породить никакая последовательность слияний. Цифры для 2048 взяты из рецензируемых работ; цифры для 3927 — мои собственные прикидочные потолки, вычисленные тем же способом, и читать их следует как «не больше этого, а скорее всего гораздо меньше». Правила обеих игр взяты из проектной документации игр, а не предположены.
Размер пространства состояний — это карта; коэффициент ветвления — скорость, с которой вы по ней идёте. На каждом ходу игрок выбирает направление: до четырёх в 2048, до шести в 3927, так что куб предлагает на пятьдесят процентов больше реальных вариантов за ход. Затем вмешивается случай: игра бросает новую плитку в случайную пустую клетку. 2048 порождает 2 или 4 — примерно два исхода на каждую свободную клетку, а пустых может быть до пятнадцати; 3927 всегда порождает одну тройку, но пустых клеток может быть до двадцати шести. 1 Перемножьте решение и случай — и дерево игры 3927 на каждом полуходе расходится шире, а поскольку слияния трёх реже слияний двух, партии в ней обычно длятся дольше, так что дерево становится не только шире, но и глубже.
«Сложность» для человека — дело ощущений, и 2048 вовсе не простушка: определить, может ли произвольная позиция дойти до целевой плитки, на доске общего вида доказуемо NP-трудно. 4 Но как комбинаторный объект 3927 — зверь покрупнее, и с большим, честным отрывом: больше клеток в показателе степени, больше направлений в ветвлении, более длинные партии в глубину. Троичная арифметика, давшая игре имя, — почти ложный след. Трудность никогда не была в тройках. Она была в третьем измерении.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.