Проведите на глаз прямую через облако точек, зафиксируйте её и узнайте, насколько близко вы подошли к прямой наименьших квадратов.
Как играть
Вам дано облако точек и прямая y = m·x + b, которая в начале лежит горизонтально на уровне y = 0. Задайте наклон m и свободный член b ползунками или перетаскивая саму прямую. От каждой точки к вашей прямой идёт красный отрезок остатка, показывающий, насколько прямая промахивается. В режимах Exact и Best Fit ошибка во время игры скрыта: оцените подгонку на глаз, затем нажмите «Lock in». В результате показываются ваша ошибка, целевое значение, ваша точность и прямая, к которой вы стремились, — она нарисована пунктиром.
Exact: от 4 до 8 точек лежат точно на скрытой прямой, поэтому при идеальной фиксации ошибка равна 0.
Best Fit: от 8 до 16 точек разбросаны вокруг прямой, так что ни одна прямая не проходит через все. Норматив (пар) — это ошибка прямой наименьших квадратов, то есть прямой с наименьшей возможной суммой квадратов остатков.
Drift: точки движутся 30 секунд, а вы удерживаете на них прямую ползунками; текущая ошибка показывается на экране.
Ошибка — это сумма квадратов остатков: возведите в квадрат расстояние по вертикали от каждой точки до вашей прямой и сложите результаты.
Очки (Exact и Best Fit): точность × (900 + бонус за скорость), где точность равна 1 / (1 + превышение ошибки над нормативом в расчёте на точку), а бонус за скорость начинается со 100 и падает до 0 через 120 секунд. В Drift очки начисляются за долю 30 секунд, в течение которой вы удерживали хорошую подгонку, из 1000.
Кнопка «Give up» показывает лучшую прямую, и вы получаете 0 очков.
Разбор примера
В режиме Exact определите по сетке две точки. Если это (0, 3) и (2, 4), прямая поднимается на 1 на каждые 2 по горизонтали, поэтому m = 0,5, а ось y она пересекает в точке 3, поэтому b = 3. Задайте эти значения, нажмите «Lock in» — и ошибка равна 0: точность 100 %.
Допустим, в Best Fit 8 точек, а норматив равен 15,3. Зафиксируйте прямую с ошибкой 23,3 — и вы на 8 выше норматива, по 1 на точку, так что ваша точность равна 1 / (1 + 1) = 50 %. Если зафиксировать её через 30 секунд, когда бонус за скорость равен 75, вы наберёте 0,5 × 975 = 488 очков.
Режимы игры
Daily: каждый день одни и те же точки для всех, для каждого испытания и уровня (день сменяется в полночь по UTC). В таблицу лидеров идёт только ваша первая игра Daily для каждого испытания и уровня; она считается сыгранной с вашего первого хода.
Practice: в каждом раунде новые случайные точки; нажмите «New», чтобы получить другие.
Уровни с 1 по 5 добавляют точки, а в Best Fit и Drift — ещё и разброс. У Daily и Practice отдельные таблицы лидеров для каждого испытания и уровня.
Элементы управления
Компьютер: перетаскивайте ползунки наклона и свободного члена или саму прямую: середина сдвигает свободный член, концы меняют наклон. Нажмите «Lock in», когда результат вас устроит.
Телефон и планшет: перетаскивайте ползунки или прямую пальцем, затем нажмите «Lock in»; кнопками над графиком меняйте испытание, режим (Daily или Practice) и уровень.
Советы и стратегия
Сначала задайте свободный член, чтобы прямая проходила через середину облака, затем меняйте наклон, пока над прямой не окажется примерно столько же точек, сколько под ней.
Прямая наименьших квадратов всегда проходит через среднюю точку, то есть через среднее x и среднее y (простая линейная регрессия: числовые свойства), поэтому найдите центр облака и поворачивайте прямую вокруг него.
Из-за возведения в квадрат большие промахи весят гораздо больше малых: остаток вдвое длиннее добавляет вчетверо больше ошибки, поэтому не позволяйте далёкой точке висеть далеко в стороне.
В Exact выберите две точки, лежащие на линиях сетки, и найдите наклон как отношение подъёма к смещению по горизонтали.
В Drift держите наклон постоянным и следуйте за облаком с помощью свободного члена.
Что вы узнаете
Line of Fit позволяет увидеть и почувствовать линейную регрессию: что делают наклон и свободный член, что такое остаток и почему лучшая прямая уравновешивает точки, а не проходит через них.
Навыки: линейные функции, наклон и свободный член, диаграммы рассеяния, остатки, метод наименьших квадратов
Подходит для: примерно 8–12 классов (возраст 13+)
Для родителей и учителей: сначала подобрать прямую на глаз, а затем сравнить её с прямой наименьших квадратов — хороший путь к формулам, а раунды Exact тренируют умение определять наклон и свободный член по графику.
Происхождение
Прямая, с которой игра сравнивает вашу, — это прямая наименьших квадратов. Первое ясное изложение метода наименьших квадратов опубликовал Адриен Мари Лежандр в 1805 году в работе об определении орбит комет; в 1809 году Карл Фридрих Гаусс опубликовал собственный метод и заявил, что владел им с 1795 года (метод наименьших квадратов: история). Расчёты Гаусса по методу наименьших квадратов оказались единственными предсказаниями, которые позволили астроному Францу Ксаверу фон Цаху вновь найти астероид Цереру после того, как Джузеппе Пиацци открыл её в 1801 году и наблюдал за ней 40 дней (метод наименьших квадратов: метод).
Слово «регрессия» восходит к Фрэнсису Гальтону, который в XIX веке использовал его для описания того, как рост потомков высоких предков стремится вернуться к среднему (регрессионный анализ: история). Проведение одной прямой y = m·x + b через точки с одной входной и одной выходной переменной — это простая линейная регрессия (простая линейная регрессия).
Об игре Line of Fit
Line of Fit — оригинальная игра PlayPendium. Её точки генерируются из начального значения (seed), поэтому задание Daily одинаково для всех, а прямая наименьших квадратов, с которой сравнивается ваша, вычисляется точно для каждого набора точек. Игра работает в браузере без установки и учётной записи.
Оригинальная бесплатная игра в браузере — без загрузки. Смотреть все игры →
